Question

在直角三角形ABC中角B=90度,在AB,AC边上取点P,Q连接P,Q,作AF垂直PQ于F,AF的延长线交BC于D 求证

Answer 1

用相似三角形证.原题中应是∠BAC=90°.

过B和C分别作AD的垂线交AD或其延长线于M和N,（附图）

∵BM⊥AD,CN⊥AD,∴BM∥NC,且BD/CD=BM/CN.

∵PQ⊥AD,BM⊥AD,∴∠APQ=∠ABM,

∵∠BAC=90°,AF是斜边上的高,∴∠CAN=∠APQ=∠ABM,

可证△ABM、△APQ、△ACN彼此相似.

由rt△ABM∽rt△APQ得BM/AP=AB/PQ,故BM=AB*AP/PQ；

由rt△ACN∽rt△APQ得CN/AQ=AC/PQ,故CN=AC*AQ/PQ,

∴BD/CD=(AB*AP/PQ)/(AC*AQ/PQ)=AB*AP/AC*AQ.