解题思路：要判断是否存在自然数n，使得n2+n+2能被3整除，则将自然数按照除以3的余数分类，有整除、余1和余2三类，进行分析即可．
当n能被3整除时，因为n2，n都能被3整除，所以（n2+n+2）÷3余2；
当n除以3余1时，因为n2，n除以3都余1，所以（n2+n+2）÷3余1；
当n除以3余2时，因为n2÷3余1，n÷3余2，所以（n2+n+2）÷3余2．
因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数n，（n2+n+2）都不能被3整除．
答：不存在自然数n，使得n2+n+2能被3整除．
点评：
本题考点： 筛选与枚举；数的整除特征．
考点点评： 枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对象是所有自然数，自然数有无限多个，所以将自然数按照除以3的余数分类，有整除、余1和余2三类，这样只要按类一一枚举即可得出结论．