Question

（2010•卢湾区二模）从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{an}的一个子数列．设

Answer 1

解题思路：（1）由题设知（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），由此可求出其公比

q＝

a

2

a

1

＝3

．

（2）设等比数列为{b_m}，其公比

q＝

a

6

a

2

＝

3

2

，

b

m

＝

a

2

q

m−1

＝8d•(

3

2

)

m−1

，由题设a_n=a₁+（n-1）d=（n+6）d．再由反证法能够推出该数列不为{a_n}的无穷等比子数列．

（3）①设{a_n}的无穷等比子数列为{b_r}，其公比

a

m

a

1

＝

b

2

b

1

＝t

（t≠1），得b_r=t^r-1，由此入手能够推导出t是大于1的正整数．

②再证明：若t是大于1的正整数，则数列{a_n}存在无穷等比子数列．即证明无穷等比数列{b_r}中的每一项均为数列{a_n}中的项．综上，当且仅当t是大于1的正整数时，数列{a_n}存在无穷等比子数列．

（1）由题设，得a₂²=a₁a₅，即（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），得d²=2a₁d，又d≠0，

于是d=2a₁，故其公比q＝

a2

a1＝3．

（2）设等比数列为{b_m}，其公比q＝

a6

a2＝

3

2，bm＝a2qm−1＝8d•(

3

2)m−1，

由题设a_n=a₁+（n-1）d=（n+6）d．

假设数列{b_m}为{a_n}的无穷等比子数列，

则对任意自然数m（m≥3），都存在n∈N^*，使a_n=b_m，

即(n+6)d＝8d•(

3

2)m−1，

得n＝8(

3

2)m−1−6，

当m=5时，n＝8(

3

2)5−1−6＝

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2∉N*，与假设矛盾，

故该数列不为{a_n}的无穷等比子数列．

（3）①设{a_n}的无穷等比子数列为{b_r}，其公比

am

a1＝

b2

b1＝t（t≠1），得b_r=t^r-1，

由题设，在等差数列{a_n}中，d＝

am−a1

m−1＝

t−1

m−1，an＝1+(n−1)

t−1

m−1，

因为数列{b_r}为{a_n}的无穷等比子数列，

所以对任意自然数r（r≥3），都存在n∈N^*，使a_n=b_r，

即1+(n−1)

t−1

m−1＝tr−1，

得n＝

tr−1−1

t−1(m−1)+1＝(tr−2+tr−3+t+1)(m−1)+1，

由于上式对任意大于等于3的正整数r都成立，且n，m-1均为正整数，

可知t^r-2+t^r-3+t+1必为正整数，

又d≠0，

故t是大于1的正整数．

②再证明：若t是大于1的正整数，则数列{a_n}存在无穷等比子数列．

即证明无穷等比数列{b_r}中的每一项均为数列{a_n}中的项．

在等比数列{b_r}中，b_r=t^r-1，

在等差数列{a_n}中，d＝

am−a1

m−1＝

点评：

本题考点： 数列的应用．

考点点评： 本题考查数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．