Question

设函数y=f(x)定义域为R,当x1,且对于任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)成立.

Answer 1

（1）首先令x=y=0,得f(0)=0或1

显然f(x)不恒等于0,故f(0)=1,否则f(0)=0=f(x)f(-x)

可知f(x)恒等于0,矛盾

故f(x)f(-x)=f(0)=1

对任意的x11

故f(x1)>1/f(-x2)=f(x2)

故y=f(x)在R上是单调递减函数

（2）f(an+1)=1/f(-2-an),

得f(0)=1=f(an+1)f(-2-an)=f(an+1-2-an)

由单调性可知an+1-2-an=0

即an+1=2+an

an是等差数列

a1=f(0)=1

a2007=1+(2007-1）*2=4013

1)不存在,

若存在,则有a不=b,而f(a)=f(b)

0=Kab=[f(a)-f(b)]/(a-b)=[f(a)+f(-b)]/(a+(-b))>0,矛盾

2)证明f(x)单调增

对任意x10

f(x1)-f(x2)1对a属于[-1,1]恒成立

后面会做了吧……