设a∈R,函数f(x)=ax3-3x2.

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)导函数在x=2处为零求a,是必要不充分条件故要注意检验

    (Ⅱ)利用最大值g(0)大于等于g(2)求出a的范围也是必要不充分条件注意检验

    (Ⅰ)f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).

    因为x=2是函数y=f(x)的极值点,所以f'(2)=0,即6(2a-2)=0,因此a=1.

    经验证,当a=1时,x=2是函数y=f(x)的极值点.

    (Ⅱ)由题设,g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x=ax2(x+3)-3x(x+2).

    当g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)时,g(0)≥g(2),

    即0≥20a-24.

    故得a≤

    6

    5.

    反之,当a≤

    6

    5时,对任意x∈[0,2],g(x)≤

    6

    5x2(x+3)−3x(x+2)=

    3x

    5(2x2+x−10)=

    3x

    5(2x+5)(x−2)≤0,

    而g(0)=0,故g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0).

    综上,a的取值范围为(−∞,

    6

    5].

    点评:

    本题考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 极值点处的导数等于零是此点为极值点的必要不充分条件,所以解题时一定注意检验.