Question

设y=y(x)由x^y=y^x确定,求dy （求过程和答案）

Answer 1

对 x^y=y^x 求dy,这是一道复合函数的微分运算.直接微分麻烦,故先两边取自然对数,再微分.

取自然对数：ylnx=xlny.

微分：dy*lnx+ydlnx=dx*lny+xdlny.

dy*lnx+y*(1/x)=1*lny+x(1/y)*dy.

整理：dy(lnx-x/y)=lny-(y/x).

dy={[lny-(y/x)]/[lnx-(x/y)]}dx.

【 ∵y=f(x),dy=f'(x)dx,前面运算过程为简便计,未写“dx”但最终结果必须在等式右边末加“dx”.】