解题思路：（1）由已知条件推导出an+2-2an+12（an+1-2an），由bn=an+1-2an，得bn+1=2bn，由此证明{bn}是公比为2的等比数列，
（2）由S2=a1+a2=4a1+2，又a1=1，得a2=5，从而得到
b
n
＝3•
2
n−1
．设
c
n
＝
a
n
2
n
]，则cn+1-cn=
a
n+1
2
n+1
−
a
n
2
n
=
a
n+1
−2
a
n
2
n+1
=
b
n
2
n+1
，将
b
n
＝3•
2
n−1
，代入，得cn+1-cn=[3/4]，所以
c
n
＝
1
2
+
3
4
(n−1)
=
1
4
(3n−1)
，由此求出
a
n
＝
2
n
•
c
n
=（3n-1）•2n-2．
（3）n≥2时，Sn=4an-1+2=（3n-4）+2，n=1也成立，由此能求出数列{an}的前n项和公式．
（1）∵数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且2an是Sn+1与-2的等差中项，a1=1，
∴Sn+1=4an+2，①，∴Sn+2=4an+1+2，②
②-①，得an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1-4an，
变形，得an+2-2an+12（an+1-2an），
∵bn=an+1-2an，∴bn+1=2bn，
∴{bn}是公比为2的等比数列，
（2）∵S2=a1+a2=4a1+2，又a1=1，∴a2=5，
∴b1=a2-2a1=3，
∴bn＝3•2n−1．
设cn＝
an
2n，则cn+1-cn=
an+1
2n+1−
an
2n=
an+1−2an
2n+1=
bn
2n+1，
将bn＝3•2n−1，代入，得cn+1-cn=[3/4]，
∴{cn}是公差为[3/4]的等差数列，c1＝
a1
2＝
1
2，
∴cn＝
1
2+
3
4(n−1)=[3/4n−
1
4]=[1/4(3n−1)，
∴an＝2n•cn=（3n-1）•2n-2．
（3）∵an＝(3n−1)•2n−1，
∴n≥2时，Sn=4an-1+2=（3n-4）•2n-1+2，
∵S1=a1=1也适合此公式，
∴数列{an}的前n项和公式为Sn=（3n-4）•2n-1+2．
点评：
本题考点： 数列的求和；数列递推式．
考点点评： 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，解题时要注意构造法的合理运用．
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