这题可以用积分，但题目的本意显然是让你使用开普勒第三定律证明，这就用不到积分了！
思路就是，物体下落的那条直线轨迹，相当于一个偏心率为0的极扁的椭圆轨道的一半，这样，下落时间就是物体在那个极扁的椭圆轨道上运动周期的一半。而这个极扁椭圆的半长轴的长度就是题目中开始所说的那个正圆的半径的一半。这样，根据开三，半长轴之比是1:2，周期值比就是1:√8，所以，极扁椭圆轨道的周期是T/√8=(√2)T/4，所以下落时间就是(√2)T/8。
关键就是要想通“物体下落的那条直线轨迹，相当于一个偏心率为0的极扁的椭圆轨道”，然后再注意：开三的通常表述中的“……圆轨道半径的立方……”在精确的表述中应为“……椭圆轨道长轴一半的立方……”这可由微分方程的求解来证明。 还有，正圆的半径就是这一特殊椭圆的半长轴。