Question

（2010•建德市模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立．

Answer 1

解题思路：（1）令n等于1代入a_n=5S_n+1中，即可求出首项a₁，然后把n换为n+1，利用a_n=5S_n+1表示出a_n+1，两个式子相减并利用S_n+1-S_n=a_n化简后即可得到

a

n+1

a

n

的值即为公比，得到此数列为等比数列，然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可；

（2）由a_n=5S_n+1解出S_n，把第一问求出的{a_n}的通项公式代入即可得到S_n的通项公式，并表示出S_2n，把表示出的式子代入到所证不等式的左边，讨论n为偶数和奇数得到比值的最小值为[3/4]，得证．

（1）当n=1时，a₁=5S₁+1，∴a₁=-[1/4]，

又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，

∴a_n+1-a_n=5a_n+1，即

an+1

an＝−

1

4且a_n≠0，n∈N^*，

∴数列{a_n}是首项为a₁=-[1/4]，公比为q=-[1/4]的等比数列，

∴a_n=（-[1/4]）ⁿ；

（2）Sn＝

an−1

5＝

(−

1

4)n−1

5，

∵|(−

1

4)n|＝(

1

4)n＜1，∴(−

1

4)n−1＜0，∴S_n≠0，

又

S2n

Sn＝

(−

1

4)2n−1

(−

1

4)n−1＝(−

1

4)n+1，

当n=2m，m∈N^*（偶数）时，比值=1+(−

1

4)2m＝1+(

1

16)m＞1＞

3

4，

当n=2m-1，m∈N^*（奇数）时，比值=1+(−

1

4)2m−1＝1−(

1

4)2m−1，

关于m为递增数列，当m=1时，取到最小值1−

1

4＝

3

4，

综上所述，对任何正整数n，不等式

S2n

Sn≥

点评：

本题考点： 等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．

考点点评： 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求出，会确定一个数列为等比数列，是一道综合题．