Question

已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，s4-b4=10．

Answer 1

解题思路：（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．

（2）先写出T_n的表达式；方法一：借助于错位相减求和；

方法二：用数学归纳法证明其成立．

（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，s₄=8+6d，

由条件a₄+b₄=27，s₄-b₄=10，

得方程组

2+3d+2q3=27

8+6d-2q3=10，解得

d=3

q=2，

故a_n=3n-1，b_n=2ⁿ，n∈N^*．

（2）证明：方法一，由（1）得，T_n=2a_n+2²a_n-1+2³a_n-2+…+2ⁿa₁； ①；

2T_n=2²a_n+2³a_n-1+…+2ⁿa₂+2ⁿ⁺¹a₁； ②；

由②-①得，T_n=-2（3n-1）+3×2²+3×2³+…+3×2ⁿ+2ⁿ⁺²

=

12(1-2 n-1)

1-2+2ⁿ⁺²-6n+2

=10×2ⁿ-6n-10；

而-2a_n+10b_n-12=-2（3n-1）+10×2ⁿ-12=10×2ⁿ-6n-10；

故T_n+12=-2a_n+10b_n（n∈N^*）．

方法二：数学归纳法，

③当n=1时，T₁+12=a₁b₁+12=16，-2a₁+10b₁=16，故等式成立，

④假设当n=k时等式成立，即T_k+12=-2a_k+10b_k，

则当n=k+1时有，

T_k+1=a_k+1b₁+a_kb₂+a_k-1b₃+…+a₁b_k+1

=a_k+1b₁+q（a_kb₁+a_k-1b₂+…+a₁b_k）

=a_k+1b₁+qT_k

=a_k+1b₁+q（-2a_k+10b_k-12）

=2a_k+1-4（a_k+1-3）+10b_k+1-24

=-2a_k+1+10b_k+1-12．

即T_k+1+12=-2a_k+1+10b_k+1，因此n=k+1时等式成立．

③④对任意的n∈N^*，T_n+12=-2a_n+10b_n成立．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．