（1）当边FG恰好经过点C时,∠CFB=60°,BF=3-t,在Rt△CBF中,BC=2 倍根号3,tan∠CFB= BC/BF,即tan60= 2倍根号3/BF,解得BF=2,即3-t=2,t=1,∴当边FG恰好经过点C时,t=1；
（2）当0≤t＜1时,S=(2倍根号3)t+4 倍根号3；
当1≤t＜3时,S=- (根号3/2)t2+3 倍根号3t+ (7倍根号3)/2；
当3≤t＜4时,S=-4 倍根号3t+20倍根号 3；
当4≤t＜6时,S= 根号3t2-12倍根号 3t+36倍根号 3；
（3）存在．
理由如下：在Rt△ABC中,tan∠CAB= BCAB= 根号3/3,
∴∠CAB=30°,又∵∠HEO=60°,∴∠HAE=∠AHE=30°,
∴AE=HE=3-t或t-3,
1）当AH=AO=3时,（如图②）,过点E作EM⊥AH于M,则AM= 1/2AH= 3/2,
在Rt△AME中,cos∠MAE═ AM/AE,即cos30°= (3/2)/AE,
∴AE= 根号3,即3-t=根号 3或t-3= 根号3,
∴t=3- 根号3或t=3+根号 3,
2）当HA=HO时,（如图③）则∠HOA=∠HAO=30°,
又∵∠HEO=60°,∴∠EHO=90°,EO=2HE=2AE,
又∵AE+EO=3,∴AE+2AE=3,AE=1,
即3-t=1或t-3=1,∴t=2或t=4；
3）当OH=OA时,（如图④）,则∠OHA=∠OAH=30°,
∴∠HOB=60°=∠HEB,∴点E和点O重合,
∴AE=3,即3-t=3或t-3=3,t=6（舍去）或t=0；
综上所述,存在5个这样的t值,使△AOH是等腰三角形,即t=3- 根号3或t=3+ 根号3或t=2或t=2或t=0．