Question

（2014•河北模拟）设不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，

Answer 1

解题思路：（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|[1/3]a+[1/6]b|＜[1/4]；

（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1-4ab|与2|a-b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．

（1）记f（x）=|x-1|-|x+2|=

3，x≤−1

−2x−1，−1＜x＜1

−3，x≥1

由-2＜-2x-1＜0解得-[1/2]＜x＜[1/2]，则M=（-[1/2]，[1/2]）．…（3分）

∵a、b∈M，∴|a|＜

1

2，|b|＜

1

2

所以|[1/3]a+[1/6]b|≤[1/3]|a|+[1/6]|b|＜[1/3]×[1/2]+[1/6]×[1/2]=[1/4]．…（6分）

（2）由（1）得a²＜[1/4]，b²＜[1/4]．

因为|1-4ab|²-4|a-b|²=（1-8ab+16a²b²）-4（a²-2ab+b²）

=（4a²-1）（4b²-1）＞0，…（9分）

所以|1-4ab|²＞4|a-b|²，故|1-4ab|＞2|a-b|．…（10分）

点评：

本题考点： 不等式的证明；绝对值不等式的解法．

考点点评： 本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查计算能力．