Question

已知抛物线C 1 ：y=-x 2 +2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C 2

Answer 1

（1）

；

（2）当

时，

为等腰直角三角形

理由如下：如图：

∵点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上，

∴AC=BC

过点A作抛物线C ₁的对称轴交x轴于D，过点C作CE⊥AD于E

∴当m=1时，顶点A的坐标为A（1，1+n），

∴CE=1

又∵点C的坐标为（0，n），

∴AE=1+n-n=1

∴AE=CE

从而∠ECA=45°，

∴∠ACy=45°

由对称性知∠BCy=∠ACy=45°，

∴∠ACB=90°

∴△ABC为等腰直角三角形。

（3）假设抛物线C ₁上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PC=AB=BC

由（2）知，AC=BC，

∴AB=BC=AC

从而△ABC为等边三角形

∴∠ACy=∠BCy=30°

∵四边形ABCP为菱形，且点P在C ₁上，

∴点P与点C关于AD对称

∴PC与AD的交点也为点E，

因此∠ACE=90°-30°=60°

∵点A，C的坐标分别为A（m，m ²+n），C（0，n），

∴AE=m ²+n-n=m ²，CE=|m|

在Rt△ACE中，

∴

∴

故抛物线C ₁上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，此时

。