Question

已知a n 是多项式（1+x） 2 +（1+x） 3 +…+（1+x） n （n≥2，n∈N*）的展开式中含x 2 项的

Answer 1

解；因为（1+x） ⁿ中含x ²的系数为C _n ²，所以多项式（1+x） ²+（1+x） ³+…+（1+x） ⁿ（n≥2，n∈N*）的展开式中含x ²项的系数

a _n=C ₂ ²+C ₃ ²+C ₄ ²+C ₅ ²+C ₆ ²+…+C _n-1 ²+C _n ²=C ₃ ³+C ₃ ²+C ₄ ²+C ₅ ²+C ₆ ²+…+C _n-1 ²+C _n ²=C ₄ ³+C ₄ ²+C ₅ ²+C ₆ ²+…+C _n-1 ²+C _n ²=C ₅ ³+C ₅ ²+C ₆ ²…+C _n-1 ²+C _n ²=C ₆ ³+C ₆ ²+…+C _n-1 ²+C _n ²=C ₇ ³+…+C _n-1 ²+C _n ²=…=C _n ³

∴a _n=

n(n-1)(n-2)

3×2×1 =

n(n-1)(n-2)

6 ，

∴则

lim

n→∞

a n

n 3 =

lim

n→∞

(1-

1

n )(1-

2

n )

6 =

1

6 ；

故选择B