Question

（2011•甘肃模拟）已知双曲线y2a2−x2b2＝1（a＞0，b＞0）的上、下顶点分别为A、B，一个焦点为F（0，c）

Answer 1

（I）由已知|AF|=c-a，AB=2a，|BF|=c+a，

∴4a=（c-a）+（c+a），即c=2a．

又∵

2a2

c＝1，于是可解得a=1，c=2，b²=c²-a²=3．

∴双曲线方程为y2−

x2

3＝1．

（II）∵S_△MON=

1

2|OM|•|ON|•sin∠MON，

∴

1

2|OM|•|ON|•sin∠MON＝−

7

2•

sin∠MON

cos∠MON

整理得|OM|•|ON|•cos∠MON=-7，即

OM•

ON＝−7．

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），于是

OM＝(x1，y1)，

ON＝(x2，y2)，

∴x₁x₂+y₁y₂=-7．

设直线MN的斜率为k，则MN的方程为y=kx+2．

∴

y＝kx+2

y2−

x2

3＝1消去y，整理得（3k²-1）x²+12kx+9=0．

∵MN与双曲线交于上支，

∴△=（12k）²-4×9×（3k²-1）=36k²+36＞0，x₁x₂=

9

3k2−1＜0，x1+x2＝

−12k

3k2−1，

∴k2＜

1

3．

∴x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=-7，整理得x₁x₂+k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-7，

代入得：

9

3k2−1+

9k2

3k2−1+

−24k2

3k2−1＝−11，解得k2＝

1

9，满足条件．

S_△MBN=

1

2|BF|•|x2−x1|=

1

2×3×

(x1+x2)2−4x1x2

=

1

2×3×

144k2

(3k2−1)2−4•

9

3k2−1

=

1

2×3×3

10

=

9

10

2．