Question

已知各项均为正数的等差数列{an}的公差d不等于0，设a1，a3，ak是公比为q的等比数列{bn}的前三项，

Answer 1

解题思路：（1）因为k=7，所以a₁，a₃，a₇成等比数列，又a_n是公差d≠0的等差数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的定义可以得到a_n=a₁+（n-1）d=n+1，b_n=b₁×q^n-1=2ⁿ，

（i）用错位相减法可求得a_nb_n的前n项和为T_n=n×2ⁿ⁺¹；

（ii）因为新的数列{c_n}的前2ⁿ-n-1项和为数列a_n的前2ⁿ-1项的和减去数列b_n前n项的和，所以计算可得答案；

（2）由题意由于（a₁+2d）²=a₁（a₁+（k-1））d，整理得4d²=a₁d（k-5），解方程得

d＝

a

1

(k−5)

4

，

q＝

a

3

a

1

＝

a

1

+2d

a

1

＝

k−3

2

，又因为存在m＞k，m∈N^*使得a₁，a₃，a_k，a_m成等比数列，及在正项等差数列{a_n}中，得到2[4+（m-1）（k-5）]=（k-3）³，分析数特点即可．

（1）因为k=7，所以a₁，a₃，a₇成等比数列，又a_n是公差d≠0的等差数列，

所以（a₁+2d）²=a₁（a₁+6d），整理得a₁=2d，

又a₁=2，所以d=1，b₁=a₁=2，q＝

b2

b1＝

a3

a1＝

a1+2d

a1＝2，

所以a_n=a₁+（n-1）d=n+1，b_n=b₁×q^n-1=2ⁿ，

（i）用错位相减法或其它方法可求得a_nb_n的前n项和为T_n=n×2ⁿ⁺¹；

（ii）因为新的数列{c_n}的前2ⁿ-n-1项和为数列a_n的前2ⁿ-1项的和减去数列b_n前n项的和，

所以S2n−n−1＝

(2n−1)(2+2n)

2−

2(2n−1)

2−1＝(2n−1)(2n−1−1)．

所以S2n−n−1−22n−1+3•2n−1＝1

（2）由（a₁+2d）²=a₁（a₁+（k-1））d，整理得4d²=a₁d（k-5），

因为d≠0，所以d＝

a1(k−5)

4，所以q＝

a3

a1＝

a1+2d

a1＝

k−3

2．

因为存在m＞k，m∈N^*使得a₁，a₃，a_k，a_m成等比数列，

所以am＝a 1q3＝a1(

k−3

2)3，

又在正项等差数列{a_n}中，am＝a1+(m−1)d＝a1+

a1(m−1)(k−5)

4，

所以a1+

a1(m−1)(k−5)

4＝a1(

k−3

2)3，又因为a₁＞0，

所以有2[4+（m-1）（k-5）]=（k-3）³，

因为2[4+（m-1）（k-5）]是偶数，所以（k-3）³也是偶数，

即k-3为偶数，所以k为奇数．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 此题考查了等差数列，等比数列的定义及通项公式，还考查了解方程的能力，数列求和的错位相减法，及学生的计算能力．