Question

直线l过定点P（0，1），且与直线l1：x-3y+10=0，l2：2x+y-8=0分别交于A、B两点、若线段AB的中点为

Answer 1

解题思路：设出A点的坐标，根据中点坐标公式求出B点坐标，分别代入两条直线方程，解方程组求得A点坐标，利用两点式或点斜式求出直线l的方程．

方法一，设A（x₀，y₀），由中点公式，有B（-x₀，2-y₀），

∵A在l₁上，B在l₂上，∴

x0-3y0+10=0

-2x0+2-y0-8=0，解得

x0=-4

y0=2，

∴kAP=

1-2

0+4=-

1

4，故所求直线l的方程为：y=-

1

4x+1，

故所求直线l的方程为x+4y-4=0；

方法2二，设所求直线l方程为：y=kx+1，l与l₁、l₂分别交于M、N、

解方程组

y=kx+1

x-3y+10=0，解得

x=

7

3k-1

y=

10k-1

3k-1，∴N(

7

3k-1，

10k-1

3k-1)；

解方程组

y=kx+1

2x+y-8=0，解得

x=

7

k+2

y=

8k+2

k+2，∴N(

7

k+2，

8k+2

k+2)，

∵M、N的中点为P（0，1），则有：[1/2(

7

3k-1+

7

k+2)=0，∴k=-

1

4]．

故所求直线l的方程为x+4y-4=0；

方法3 设所求直线l与l₁、l₂分别交于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），P（0，1）为MN的中点，

则有

x1+x2=0

y1+y2=2，可得

x2=-x1

y1y2=2-y1代入l₂的方程得：2（-x₁）+2-y₁-8=0，即2x₁+y₁+6=0，

解方程组

x1-3y1+10=0

2x1+y1+6=0，解得

x1=-4

y1=2，所以M（-4，2）．

由两点式：所求直线l的方程为x+4y-4=0．

点评：

本题考点： 两条直线的交点坐标．

考点点评： 本题考查了中点坐标公式及两条直线的交点坐标的求法，方法一，思路清晰，简洁明快，运算量相对较小．