向量的运算公式

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  • 定义:已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

    定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣.

    向量的数量积的坐标表示:b=x?x'+y?y'.

    向量的数量积的运算律

    a?b=b?a(交换律);

    (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律);

    (a+b)?c=a?c+b?c(分配律);

    向量的数量积的性质

    a?a=|a|的平方.

    a⊥b 〈=〉a?b=0.

    |a?b|≤|a|?|b|.

    向量的数量积与实数运算的主要不同点

    1、向量的数量积不满足结合律,即:(a?b)?c≠a?(b?c);例如:(a?b)^2≠a^2?b^2.

    2、向量的数量积不满足消去律,即:由 b=a?c (a≠0),推不出 b=c.

    3、|a?b|≠|a|?|b|

    4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

    2、向量的向量积

    定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.

    向量的向量积性质:

    ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.

    a×a=0.

    a‖b〈=〉a×b=0.

    向量的向量积运算律

    a×b=-b×a;

    (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

    (a+b)×c=a×c+b×c.

    注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.

    3、向量的三角形不等式

    1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

    ① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;

    ② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.

    2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.

    ① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;

    ② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.

    4、定比分点

    定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2)

    设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.

    若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有

    OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)

    x=(x1+λx2)/(1+λ),

    y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)

    我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

    5、三点共线定理

    若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

    三角形重心判断式

    在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心

    向量共线的重要条件

    若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb.

    a//b的重要条件是 xy'-x'y=0.

    零向量0平行于任何向量.

    向量垂直的充要条件

    a⊥b的充要条件是 b=0.

    a⊥b的充要条件

    希望对你有用,