已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分

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  • 解题思路:首先根据点F在AP的垂直平分线上,可得|PF|=|FA|;然后求出|FA|=

    b

    2

    c],|PF|∈[a-c,a+c],所以

    b

    2

    c

    ∈[a-c,a+c],从而求出椭圆的离心率的取值范围即可.

    因为在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,

    所以F点到P点与A点的距离相等;

    因为|FA|=

    a2

    c−c=

    b2

    c,|PF|∈[a-c,a+c],

    所以

    b2

    c∈[a-c,a+c],

    可得ac-c2≤b2≤ac+c2

    即ac-c2≤a2-c2≤ac+c2

    解得

    c

    a≤1

    c

    a≤−1或

    c

    a≥

    1

    2,

    即[1/2≤e<1.

    所以椭圆的离心率的取值范围为[

    1

    2,1).

    故答案为:[

    1

    2,1).

    点评:

    本题考点: 椭圆的简单性质.

    考点点评: 本题主要考查了椭圆的基本性质的运用,属于基础题,解答此题的关键是根据题意,判断出|PF|=|FA|.

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