Question

为什么两两正交 非零的向量组必线性无关?

Answer 1

设x_1,...,x_n为n个向量,并且两两正交,

假设存在常数k_1,...,k_n,使得k_1x_1+.+k_nx_n=0,下面需要说明k_1=...=k_n=0

事实上,对上式两边同时左乘x_i^T (即向量x_i的转置)

则 k_1x_i^Tx_1+k_2x_i^Tx_2+...+k_nx_i^Tx_n=0

又x_i与其他向量正交,即x_i^Tx_j=0 (jneq i)

故k_ix_i^Tx_i=0,即 k_i |x_i|^2=0 (|x_i|表示向量x_i的长度)

于是 k_i=0.