Question

如图,在锐角三角形ABC的边上分别作RT三角形ABP和RT三角形AQC,其中∠APB和∠AQC都是直角,点M是BC中点,

Answer 1

ABP和AQC应该都是等腰直角三角形；否则,该命题不成立（例如：P点可无限接近B点、Q点可无限接近A点,试问BAM会是等腰直角三角形吗?）.

按图中作辅助线.

易知⊿MNC≌MPB,得NC=PB=PA、 ∠MCN=∠MBP=∠ABC+∠ABP=∠ABC+45º.

∵∠NCQ=360°-∠MCN-∠BCA-∠ACQ=360°-(∠ABC+45º)-∠BCA-45º=270°-(∠ABC+∠BCA)

=270°-(180°-∠BAC)=90°+∠BAC

又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=45°+∠BAC+45°=90°+∠BAC

∴∠NCQ=∠QAP,已知QC=QA,已证NC=PA,

∴△CNQ≌△AQP,则NQ=PQ

∵CQ⊥AQ, ∠CQN=∠AQP,∴NQ⊥PQ

∴NPQ为等腰直角三角形.

已知M为PN的中点,

所以：△PMQ是等腰直角三角形.