如图,在平面直角坐标系中,A(-1,0)、B(0,2)且Rt△AOB≌Rt△CDA,抛物线y=ax2+ax-2经过点C.

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  • 解题思路:(1)已知Rt△AOB≌Rt△CDA,因此OB=AD=2,OA=CD=1,据此可求出C点坐标,然后将C点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式.

    (2)连接BC,点P是x轴上一点,则设OP=x,若PC⊥PB则∠CPB=90°,所以三角形BPC是直角三角形,由勾股定理可得PC2+PB2=BC2,求出OP的值进而得到P的坐标;

    (3)存在,可以AB为边在抛物线的右侧作正方形ABEF,过E作EH⊥y轴,过F作FG垂直x轴于G,不难得出三角形ABO和三角形BHE和三角形AFG都全等,据此可求出E,F的坐标,然后将两点坐标代入抛物线的解析式中即可判断出E、F是否在抛物线上.

    (1)∵A(-1,0)、B(0,2)且Rt△AOB≌Rt△CDA,

    ∴OA=1,AD=BO=2,

    ∴OD=AO+AD=2+1=3,

    ∵∠D=90°,

    ∴CD⊥OD

    ∴CD=1,

    ∴C点坐标为(-3,1),

    ∵抛物线经过点C,

    ∴1=a(-3)2+a(-3)-2,

    ∴a=[1/2],

    ∴抛物线的解析式为y=[1/2]x2+[1/2]x-2;

    (2)设OP=x,

    ∵Rt△AOB≌Rt△CDA,

    ∴∠CAD=∠ABO,

    ∵∠BAO+∠ABO=90°,

    ∴∠CAD+∠BAO=90°,

    ∴∠CAB=90°,

    ∴△ACB是直角三角形,

    ∴BC=

    AC2+AB2=

    10,

    ∵PC⊥PB,

    ∴∠CPB=90°,

    ∴△BPC是直角三角形,

    ∴PB2+PC2=BC2

    ∵PB2=OP2+BO2,PC2=CD2+DP2

    ∴OP2+BO2+CD2+DP2=BC2

    即x2+22+12+(3-x)2=10,

    解得:x=1或2,

    由题意可知:P在x的负半轴,

    ∴P的坐标为(-1,0)或(-2,0);

    (3)存在,

    在抛物线上存在点E、F,使四边形ABEF是正方形.

    以AB为边在AB的右侧作正方形ABEF,过E作EH⊥OB于H,FG⊥x轴于G,可证△EHB≌△AFG≌△BAO,

    ∴HE=AG=BO=2,BH=FG=AO=1,

    ∴E点坐标为(2,1),F点坐标为(1,-1).

    由(1)抛物线y=[1/2]x2+[1/2]x-2,当x=2时,y=1;当x=1时,y=-1.

    ∴E、F在抛物线上.

    故在抛物线上存在点E(2,1)、F(1,-1),使四边形ABPQ是正方形.

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、正方形的判定、全等三角形的判定和性质等知识点.综合性强,涉及的知识点多,难度较大.