Question

椭圆的一个焦点为F,点P在y轴上,直线PF交椭圆于M,且M是直线PF的中点,求离心率

Answer 1

1).如果焦点在y轴上,则现有的条件解不出来.

2)焦点在x轴上的话,设椭圆方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 =1,令F坐标(c,0),其中c^2=a^2-b^2

根据题意,在直角三角形PFO中,PM=FM,则有MO=PF/2=MF,即三角形MFO是等腰三角形.

则,M的横坐标=c/2,

设其纵坐标为y0,则MF^2=(y0)^2 +(c/2 -c)^2=y0^2 +c^2/4;

根据焦半径,MF=a+e·(c/2)

则y0^2 +c^2/4=[a+e·(c/2)]^2

y0^2=a^2+a·c·e+c^2(e^2-1)/4

=a^2+c^2+c^2(e^2-1)/4

=a^2+c^2(e^2+3)/4

代入椭圆方程中得

(c/2)^2/a^2 + [a^2+c^2(e^2+3)/4]/b^2 =1

即e^2/4 + [1+e^2(e^2+3)/4]/[(a^2-c^2)/a^2] =1;

e^2/4 + [1+e^2(e^2+3)/4]/(1-e^2) =1

{注意e=c/a}

由此解得离心率e=√2/2