Question

已知函数f（x）=ex-a（x+1），在x=ln2处的切线的斜率为1．

Answer 1

解题思路：（1）利用导数与切线的关系求得a，再利用导数判断函数的单调性求得最小值；

（2）令g（x）=f（x）-mx²，利用导数求得g（x）的最小值，即可得出结论．

（1）∵f（x）=e^x-a（x+1），

∴f′（x）=e^x-a，

∵函数f（x）=e^x-a（x+1）在x=ln2处的切线的斜率为1，

∴f′（ln2）=2-a=1，

∴a=1，

∴f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1，

∴x＜0时，f′（x）＜0，x＞0时，f′（x）＞0，

∴x=0时，函数有极小值，即为最小值，最小值为0；

（2）令g（x）=f（x）-mx²，则g′（x）=e^x-1-2mx，

设h（x）=g′（x）=e^x-1-2mx，则h′（x）=e^x-2m，

①m≤[1/2]时，h′（x）≥0，h（x）≥h（0）=0，∴g′（x）≥0，∴g（x）≥g（0）=0，满足题意；

②m＞[1/2]时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，h（x）≤h（0）=0，∴g（x）是减函数，

∴g（ln2m）≤g（0）=0，不满足题意．

则实数m的取值范围是：（-∞，[1/2]]．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的切线问题、研究函数的单调性最值等知识，考查学生的计算能力，属于中档题．