Question

运用泰勒公式证明不等式设f(x)在[a,b]上一阶可导,在（a,b）上二阶可导,且满足f'(a)=f'(b)=0,证明存

Answer 1

此处给出一个当[a,b]为[0,1]时的证明过程,很容易将其修改为[a,b]区间的证明,[a,b]的证明在此处输入很不方便.

证明：将f(x)在 1/2 处展开得

证明：证明：f(1)=f(x0)+f’(x0)(1-x0)+(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 ξ1∈(x0,1)

f(0)=f(x0) +f’(x0) (-x0)+ (f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 ξ2∈(0,x0)

由f(0)=f(1)可得

f’(x)= (f’’(ξ2)/2!)( x0)2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)2

由于x0∈（0,1）时,x02+ (1-x0)2