已知函数f(x)=1a−1x(a>0,x>0).

1个回答

  • 解题思路:(1)要证明函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,利用定义证明任意x1<x2且x1,x2∈(0,+∞),有f(x2)>f(x1

    (2)结合(1)考查函数的单调性.利用单调性判断函数的值域

    (3)由

    1

    a

    1

    x

    ≥3

    ,可得

    1

    a

    1

    x

    +3

    在[1,2]上恒成立,构造函数

    g(x)=

    1

    x

    +3

    ,通过研究函数g(x)在[1,2]上单调性,从而求函数的最大值,而a≥g(x)max,从而可求a

    (1)证明:设x1<x2且x1,x2∈(0,+∞),则x2-x1>0,x1x2>0.(1分)

    ∵f(x2)-f(x1)═(

    1

    a−

    1

    x2)−(

    1

    a−

    1

    x1)=

    x2−x1

    x2x1>0,

    ∴f(x2)>f(x1).(3分)

    ∴函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.(4分)

    (2)当a=

    2

    5时,f(x)=

    5

    2−

    1

    x(x>0);

    由(1)知函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.(5分)

    ∴[1/2≤f(x)<2(7分)

    ∴f(x)的最小值为

    1

    2],此时x=

    1

    2;无最大值.(8分)

    (3)依题意,[1/a−

    1

    x≥3,即

    1

    a≥

    1

    x+3在[1,2]上恒成立.

    ∵函数g(x)=

    1

    x+3在[1,2]上单调递减,∴g(x)max=4(11分)

    1

    a≥4,又a>0.∴0<a≤

    1

    4],a的取值范围是(0,

    1

    4].(14分)

    点评:

    本题考点: 函数单调性的判断与证明;函数的最值及其几何意义;函数恒成立问题.

    考点点评: 本题主要考查了利用定义法证明函数的单调性,利用函数的单调性求解函数的最值(或值域),函数的恒成立问题转化为求函数的最值问题,体现了转化思想在解题中的应用.