解题思路:(1)要证明函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,利用定义证明任意x1<x2且x1,x2∈(0,+∞),有f(x2)>f(x1)
(2)结合(1)考查函数的单调性.利用单调性判断函数的值域
(3)由
1
a
−
1
x
≥3
,可得
1
a
≥
1
x
+3
在[1,2]上恒成立,构造函数
g(x)=
1
x
+3
,通过研究函数g(x)在[1,2]上单调性,从而求函数的最大值,而a≥g(x)max,从而可求a
(1)证明:设x1<x2且x1,x2∈(0,+∞),则x2-x1>0,x1x2>0.(1分)
∵f(x2)-f(x1)═(
1
a−
1
x2)−(
1
a−
1
x1)=
x2−x1
x2x1>0,
∴f(x2)>f(x1).(3分)
∴函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.(4分)
(2)当a=
2
5时,f(x)=
5
2−
1
x(x>0);
由(1)知函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.(5分)
∴[1/2≤f(x)<2(7分)
∴f(x)的最小值为
1
2],此时x=
1
2;无最大值.(8分)
(3)依题意,[1/a−
1
x≥3,即
1
a≥
1
x+3在[1,2]上恒成立.
∵函数g(x)=
1
x+3在[1,2]上单调递减,∴g(x)max=4(11分)
∴
1
a≥4,又a>0.∴0<a≤
1
4],a的取值范围是(0,
1
4].(14分)
点评:
本题考点: 函数单调性的判断与证明;函数的最值及其几何意义;函数恒成立问题.
考点点评: 本题主要考查了利用定义法证明函数的单调性,利用函数的单调性求解函数的最值(或值域),函数的恒成立问题转化为求函数的最值问题,体现了转化思想在解题中的应用.