解题思路：（1）通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值．
（2）通过C的值，得到A+B的值，利用两角和的余弦函数求出cosA+cosB=sin（A+
π
6]）．根据A+[π/6]的范围，求出sin（A+[π/6]）的范围，得到结果．
（1）由已知，根据正弦定理，asinA-csinC=（a-b）sinB
得，a2-c2=（a-b）b，即a2+b2-c2=ab．
由余弦定理得cosC=
a2+b2−c2
2ab=[1/2]．
又C∈（0，π）．所以C=[π/3]．
（2）由（1）知A+B=[2π/3]，则0＜A＜
2π
3．
cosA+cosB=cosA+cos(
2π
3−A)
=cosA+cos[2π/3]cosA+sin[2π/3]sinA
=[1/2]cosA+
3
2sinA
=sin（A+[π/6]）．
由0＜A＜
2π
3可知，[π/6＜A+
π
6＜
5π
6]，
所以[1/2＜sin（A+
π
6]）≤1．
所以cosA+cosB的取值范围（[1/2，1]．
点评：
本题考点： 解三角形；三角函数的最值．
考点点评： 本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法，以及两角和的余弦函数的应用，考查计算能力．
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