Question

如图,在△ABC中,AB=AC,P是BC上除B、C点外的任意一点,求证AP²+PB*PC=AB²

Answer 1

证明:作⊿ABC的外接圆,延长AP,交圆于D,连接BD.

∵AP*PD=PB*PC.(相交弦定理)

∴AP²+PB*PC=AP²+AP*PD=AP*(AP+PD)=AP*AD.

∵AB=AC.

∴∠ABP=∠C=∠ADB;

又∠BAP=∠DAB,则⊿BAP∽⊿DAB.

∴AB/AD=AP/AB,AB²=AP*AD.

故AB²=AP²+PB*PC.(等量代换)