解题思路：（1）根据直线AM的斜率为1时，得出直线AM：y=x+2，代入椭圆方程并化简得：5x2+16x+12=0，解得点M的坐标即可；（2）对于是否过x轴上的一定点问题，可先假设存在，设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系即可求得P点的坐标，从而解决问题．
（1）直线AM的斜率为1时，直线AM：y=x+2，（1分）
代入椭圆方程并化简得：5x2+16x+12=0，（2分）
解之得x1=-2，x2=-
6
5，∴M(-
6
5，
4
5)．（4分）
（2）设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），
则
y=k(x+2)
x2
4+y2=1化简得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0．（6分）
∵此方程有一根为-2，∴xM=
2-8k2
1+4k2，（7分）
同理可得xN=
2k2-8
k2+4．（8分）
由（1）知若存在定点，则此点必为P(-
6
5，0)．（9分）
∵kMP=
yM
xM+
6
5=
k(
2-8k2
1+4k2+2)
2-8k2
1+4k2+
6
5=
5k
4-4k2，（11分）
同理可计算得kPN=
5k
4-4k2．（13分）
∴直线MN过x轴上的一定点P(-
6
5，0)．（16分）
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查直接法求轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、直线过定点问题．考查推理能力和运算能力．