Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．

Answer 1

解题思路：（1）将f（x）=x代入定义（x+T）=T f（x）验证知函数f（x）=x不属于集合M．

（2）由题意存在x∈R使得a^x=x，由新定义知存在非零常数T使得a^T=T，将函数关系式代入f（x+T）=T f（x）验证知

f（x）=a^x∈M．

（3）若函数f（x）=sinkx∈M，依据定义应该有sin（kx+kT）=Tsinkx∈[-1，1]对任意实数都成立，故T=±1．将T=±1代入sin（kx+kT）=Tsinkx求k的范围即可．

（1）对于非零常数T，

f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx．

因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，

所以f（x）=x∉M；

（2）因为函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，

所以方程组：

y＝ax

y＝x有解，消去y得a^x=x，

显然x=0不是方程a^x=x的解，所以存在非零常数T，使a^T=T．

于是对于f（x）=a^x有f（x+T）=a^x+T=a^T•a^x=T•a^x=Tf（x）故f（x）=a^x∈M；

（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M．

当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常数T，

对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，

即sin（kx+kT）=Tsinkx．

因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，

于是sinkx∈[-1，1]，sin（kx+kT）∈[-1，1]，

故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立，

只有T=±1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，

则k=2mπ，m∈Z．

当T=-1时，sin（kx-k）=-sinkx成立，

即sin（kx-k+π）=sinkx成立，

则-k+π=2mπ，m∈Z，即k=-（2m-1）π，m∈Z．

综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}．

点评：

本题考点： 集合的包含关系判断及应用；指数函数综合题；已知三角函数模型的应用问题．

考点点评： 考查新定义下问题的证明与求解，此类题的特点是探究时只能以新定义的规则为依据，不能引入熟悉的算法，这是做此类题时要注意的．