Question

（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 中，E，H分别是棱A 1 B 1 ，D 1

Answer 1

（I）见解析（II）p的最小值等于7/8

本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分

解法一：

（I） 证明：在长方体ABCD－A ₁B ₁C ₁D ₁中，AD∥A ₁D ₁

又∵EH∥A ₁D ₁ ，∴AD∥EH.

∵AD￠平面EFGH

EH

平面EFGH

∴AD//平面EFGH.

（II） 设BC=b，则长方体ABCD－A ₁B ₁C ₁D ₁的体积V=AB·AD·AA ₁=2a ²b，

几何体EB ₁F-HC ₁G的体积V ₁=（1/2EB ₁ ·B ₁F）·B ₁C ₁=b/2·EB­ ₁·B ₁ F

∵EB ₁ ²+ B ₁ F ²=a ²

∴EB ₁ ²+ B ₁ F ² ≤ （E

B ₁ ²+ B ₁ F ² ）/2 = a ² / 2,当且仅当EB­ ₁ =B ₁ F=

a时等号成立

从而V ₁≤ a ²b /4 .

故 p=1-V ₁/V ≥

=

解法二：

（I）同解法一

（II）设BC=b，则长方体ABCD－A ₁B ₁C ₁D ₁的体积V=AB·AD·AA ₁=2a ²b ，

几何体EB ₁F-HC ₁G的体积

V ₁=（1/2 EB­ ₁·B ₁ F）·B ₁C ₁=b/2 EB­ ₁·B ₁ F

设∠B ₁EF=θ（0°≤θ≤90°），则EB­ ₁=" a" cosθ，B ₁ F ="a" sinθ

故EB­ ₁·B ₁ F = a ²sinθcosθ=

，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.

从而

∴p=1- V ₁/V≥

=

，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.

所以，p的最小值等于7/8