Question

1.假设n是自然数,d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．

Answer 1

1、【证】 设2n²＝kd,k是正整数,如果 n²＋d是整数 x的平方,那么

k²x²＝k²（n²＋d）＝n²（k²＋2k）

但这是不可能的,因为k2x2与n2都是完全平方,而由k²＜k²＋2k＜（k＋1）2得出k²＋2k不是平方数．

2、

【证】 四个连续自然数的乘积可以表示成

n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n²＋3n）（n²＋8n＋2）

＝（n²＋3n＋1）2－1

因此,四个连续自然数乘积加上1,是一完全平方数,故知本题结论成立．