论文摘要：本文以递归的方法解决历史上著名的德?梅齐里克砝码问题,并加以推广阐述了一种特殊的进制数方式,对此问题作出了一个普遍任意给定一个自然数,能够以最少的个数的项保证其和为给定数而又能遍历1到此数间的任意整数.
关键词 ：进制数 ,遍历,基底,状态值；
一．x05问题介绍
一位商人有一个40磅重的砝码,由于跌落在地而碎成4块,后来称得每块碎片的重量都是整磅数,而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整磅数的重物,问这4块砝码碎片各是多少.摘自《100个著名初等数学问题》
二．x05问题解决
考虑这样一个用法码称重物的问题,实际上是通过在天平两端放不同砝码使各砝码值相加减得到目的值.
用递归的方法能很好的解决：
设前i块碎片的总质量为 ,由这 块能够称出1～之间所有整磅数,那么第 +1块碎片则为2 +1,.它依次减去前 块得到的各个磅数就能得到（ +1）～（2 +1）,它依次加上前 块得到的各个磅数就能得到（2 + 2）～（3 +1）
2 +1 — = +1 2 +1 + = 3 +1
2 +1 — （ —1） = +2 2 +1 + （ —1） = 3
2 +1 — （ —2） = +3 2 +1 + （ —2） = 3 —1
… … … … … …
2 +1 — 1 = 2 2 +1 + 1 = 2 + 2
2 +1自己当然能够称出来；
所以由这 +1块碎片能称出1～（3 +1）所有的整质量.
设第 块碎片重为 ,则有：
=2 + 1；
=2 1 +1；
两式相减得 =3 ；
=1,故各碎片的磅数分别为1,3,9,27.满足和为40的要求.答案补充 三、考虑
任给一个数分成特定数目的各值,使之能遍历1到此整数
A.改变特定碎片的磅数那么照样能称出1到总磅数的所有整数值.
如果把总量为42的重物破碎成6块,此6块能称出1到42磅所有重物,它们可以是
1,1,4,4 ,16,16
由前面特殊进制数可以得到1,4,16与0,1,2相组合能取到2（1 + 4 + 16 ）.
B.回到前面解题之初.的取值不止有一种可能,若 ≦2 + 1,
① ≦ ,故由前 块能遍历1到 ,而 加上1,2,3,等就能得到 +1,+2,+3,+4,…,+ .于是能够从1取到 + .
② ﹤ ≦2 + 1,
— ≦ + 1,由前 块能遍历1到 —
—（ —1）= — +1
—（ —2）= — +2；
… …
—（0） =
+ 1,+2,… … +
故这 块碎片能取到1～+ 所有磅数.答案补充 四．最少块数碎片完成遍历.
任何一整数在分成各项,其组合能遍历1至此数的所有值,那么其中以3进制即以 做为基底,与状态值的线性组合能够做到项数最少且满足题意.同时最后一项即零头可以不为3的各次幂.①在各种进制中,3进制是随着项数增多,它们的和增多最块的一个.②在各种其它情形中,要保证遍历中的每一个数都只用其中一种方式组合.否则构造组合的方式就会有重合.例如42可以分为：
1,3,6,27,2
也可以分为 1,1,4,4,16,16.
五．任意给定数的最少项数分法
1,按3进制数将给定数的各项依次写出,直到“零头“不是3的幂为止.这时项数就是该数最小的分解项数.2,利用 三 中的结论,我们可以不受K次幂数的限制,可以在写出每一 的值,只要保证 ≦2 + 1.各项数值丰富起来.
还举42的例子①三进制为各基底.1 + 3 + + +… + =
和依次是1 4 13 40 …留下零头2,故最少遍历分解项数是5分解方式：1 ,3 ,9 ,27 ,2 ②．1,2,7,21,11
1,2,7,20,12
1,2,6,18,15