解题思路：对于①可以判断该函数是奇函数，由此说明；
对于②当a=b时，y=
a(x+
1
x
)
，当a＜0时，不满足题意；
对于③可先用切点把切线方程表示出来，然后将（0，0）代入，只要是无解即可说明；
对于④不妨令y=
x+
1
x]，此时a=1，然后由
x+
1
x
−x＝
1
x
，当x→+∞时，[1/x]→0，可知y=x是函数y=x
+
1
x
的渐近线；由此进一步可以判断该命题为假；
对于⑤先表示出任意一点处切线的方程，然后求出该切线与y=ax，y轴的交点，则三角形的三个交点可以求出，面积可求．
对于①：定义域为{x|x∈R，x≠0}，关于原点对称，又f（-x）=-f（x）恒成立，所以该函数是奇函数，故①为真命题；
对于②：当a＜0时，y=ax+
a
x，y′＝a−
a
x2＝
a(x+1)(x−1)
x2，当x＜-1或x＞1时，y′＜0；当-1＜x＜1时，y′＞0，所以当x=1时，y极大=2a；x=-1时，y极小=-2a，故②为假命题．
对于③：假设存在过原点的切线，设切点为（m，am+
b
m），则切线斜率为a+
b
m2，又y′＝a−
b
x2，所以a+
b
m2＝a−
b
m2，即b=0，与已知矛盾，故不存在这样的切线．故③为真命题．
对于④：令f（x）=x+
1
x，则再令g（x）=x，则f（x）-g（x）=[1/x]，当x→+∞时，[1/x]→0，所以g（x）=x是函数y=x+[1/x]的渐近线，做出函数f（x）的图象如下：
此时可以看出，在函数f（x）图象上任取两点A，B，∠AOB＜
π
4或∠AOB＞
3
4π，所以tan∠AOB＞1或-1＜tan∠AOB＜0，即此时不存在这样的两点A，B使得tan∠AOB＝
1
a＝1，故④为假命题．
对于⑤：由题意设切点为(x0，ax0+
b
x0)，y′=a-[b
x2，所以切线方程为y-（ax0+
b
x0）=（a-
b
x02）（x-x0）①，直线y=ax②，
由①②联立得交点为（2x0，2ax0），对于①令x=0得切线与y轴交点为（0，
2b
x0），原点为（0，0），
所以围成的三角形面积为
1/2•
2b
x0•2ax0＝2ab是定值，故⑤是真命题．
故答案为①③⑤．
点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．
考点点评： 本题以命题为载体考查了导数在研究函数的极值、切线中的应用，有一定难度．
1年前
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