Question

已知,AD是RT△ABC斜边BC上的高,∠ABC的平分线AD于M,交∠DAC的平分线AE于N,试比较AM与EM的大小

Answer 1

∵AD⊥BC即∠ADB=∠ADC=90°

∠BAC=90°

∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠CAD=90°

∴∠ABD=∠CAD

∴∠C=∠BAD

∵BN平分∠ABC

AE平分∠DAC

∴∠DAE=∠CAE

∠ABN=∠CBN

即∠MAN=∠DAE=∠CAE

即∠DBM=∠CBN=∠ABN

∴∠MAN=∠DBM

∵∠AMN=∠BMD

∴△AMN∽△BDM

∴∠ANM=∠MDB=∠ADB=90°

即∠BN⊥AE

∵∠BEA=∠C+∠CAE

∠BAE=∠BAD+∠DAE=∠C+∠CAE

∴∠BAE=∠BEA

∴△ABE是等腰三角形

∵BN⊥AE

∴BN是高,中线

∴BN是AE的中垂线

∴AM=ME