(Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x>0},….(1分)
当a=-[1/2]时,f′(x)=-
(x+2)(x−2)
2x,….(2分)
令f′(x)=0,在[1,e]上得极值点x=2,
x [1,2) 2 (2,e]
f′(x) + 0 -
f(x) 增 2ln2-1 减….(4分)
∵f(1)=-[1/4],f(e)=2-
e2
4,….(5分)
f(1)<f(e),
∴f(x)max=f(2)=2ln2-1,f(x)min=f(1)=-[1/4].….(7分)
(Ⅱ)f′(x)=
(x−2)(ax−1)
x,….(8分)
①0<a<[1/2]时,由f′(x)>0得0<x<2或x>[1/a],
所以f(x)的单调增区间是(0,2),([1/a],+∞),
由f′(x)<0得2<x<[1/a],
所以f(x)的单调减区间是(2,[1/a]);….(10分)
②a=[1/2]时,f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,且当且仅当f′(2)=0,
∴f(x)在(0,+∞)单调递增;….(11分)
③当a>[1/2]时,由f′(x)>0得0<x<[1/a]或x>2,
所以f(x)的单调增区间是(0,[1/a]),(2,+∞),
由f′(x)<0得[1/a]<x<2,
所以f(x)的单调减区间是([1/a],2).….(13分)