(2014•荆州模拟)已知函数 f(x)=2lnx+12ax2−(2a+1)x (a∈R).

1个回答

  • (Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x>0},….(1分)

    当a=-[1/2]时,f′(x)=-

    (x+2)(x−2)

    2x,….(2分)

    令f′(x)=0,在[1,e]上得极值点x=2,

    x [1,2) 2 (2,e]

    f′(x) + 0 -

    f(x) 增 2ln2-1 减….(4分)

    ∵f(1)=-[1/4],f(e)=2-

    e2

    4,….(5分)

    f(1)<f(e),

    ∴f(x)max=f(2)=2ln2-1,f(x)min=f(1)=-[1/4].….(7分)

    (Ⅱ)f′(x)=

    (x−2)(ax−1)

    x,….(8分)

    ①0<a<[1/2]时,由f′(x)>0得0<x<2或x>[1/a],

    所以f(x)的单调增区间是(0,2),([1/a],+∞),

    由f′(x)<0得2<x<[1/a],

    所以f(x)的单调减区间是(2,[1/a]);….(10分)

    ②a=[1/2]时,f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,且当且仅当f′(2)=0,

    ∴f(x)在(0,+∞)单调递增;….(11分)

    ③当a>[1/2]时,由f′(x)>0得0<x<[1/a]或x>2,

    所以f(x)的单调增区间是(0,[1/a]),(2,+∞),

    由f′(x)<0得[1/a]<x<2,

    所以f(x)的单调减区间是([1/a],2).….(13分)