Question

用数学归纳法证明1³+2³+3³+.+n³={1/2n(n+1)}²

Answer 1

（1）当n=1的时候,等式成立；

（2）假设n=k时,等式也成立,即,1^3+2^3+3^3+4^3+……+k^3=(1+2+3+……+k)^2；

（3）当n=k+1时,等式左边=1^3+2^3+3^3+4^3+……+k^3+(k+1)^3=1+2+3+……+k)^2+(k+1)^3=1+2+3+……+k)^2+(k+1)^2+k(k+1)^2

而等式右边=1+2+3+……+k+k+1)^2=1+2+3+……+k)^2+(k+1)^2+2(k+1)(1+2+3+……+k)

故只需证明2(k+1)(1+2+3+……+k)=k(k+1)^2

因为2(k+1)(1+2+3+……+k)=2(k+1).k(k+1)/2=k(k+1)^2

可见1^3+2^3+3^3+4^3+……+N^3=(1+2+3+……+N)^2