Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值最小值分别为M,m ,集合A={x|f(x)=x

Answer 1

f(x)=ax²＋bx＋c=x只有一个解x=2

则f(x)-x=a(x-2)² 即:二次函数顶点在(2,2)

所以f(x)=a(x-2)²+x=ax²-(4a-1)x+4a

对称轴为直线x=(4a-1)/(2a)=2 - 1/(2a)

由于a≥1,所以1/(2a)∈(0,1/2],

对称轴x=2 - 1/(2a)∈[3/2,2)

二次函数f(x)开口向上,

所以在区间[-2,2]上的最大值M=f(-2)=16a-2

最小值m=f[2 - 1/(2a)]=……=2-1/(4a)

所以g(a)=M-m=16a-2-2+1/(4a)=16a+1/(4a) -4

易证当a≥1时,g(a)为增函数,所以g(a)的最小值为g(1)=16+1/4 -4=47/4