Question

过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则1|AF|+1|BF|=______．

Answer 1

解题思路：根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根据韦达定理可求得x₁x₂的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1代入

1

|AF|

+

1

|BF|

答案可得．

易知F坐标（1，0）准线方程为x=-1．

设过F点直线方程为y=k（x-1）

代入抛物线方程，得 k²（x-1）²=4x．

化简后为：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

则有x₁x₂=1

根据抛物线性质可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1

∴

1

|AF|+

1

|BF|=

x1+1+x2+1

(x1+1)(x2+1) =

x1+x2+2

x1+x2+x1x2+1 =

x1+x2+2

x1+x2+2=1

故答案为1

点评：

本题考点： 抛物线的应用．

考点点评： 本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义．对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决．