已知两个自然数的和是60,他们的最大公约数与最小公倍数之和是84,求这两个自然数各是多少?

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  • 解题思路:首先假设出这个两数,得出有关两数和是60,它们的最大公约数与最小公倍数之和是84的两个方程,再进行分析得出符合要求的取值.

    设所求二数为x,y,且(x,y)=d,令x=ad,y=bd,则(a,b)=1.

    根据题意有

    a+b=

    60

    d

    1+ab=

    84

    d,

    由于(60,84)=12,

    所以d=l,2,3,4,6,12.

    而当d:1,2,3,4,6时,方程组无解.

    当d=12时,方程组变为

    a+b=5

    ab=6,

    解得

    a=2

    b=3或

    a=3

    b=2.

    故所求的两数为x=24,y=36.

    答:这两个自然数为24和36.

    点评:

    本题考点: 公约数与公倍数问题.

    考点点评: 此题主要考查了方程组的解法以及最大公约数与最小公倍数的性质,正确的出d的取值是解决问题的关键.