已知数列{an}满足递推关系式an＝2an−1+2 - 知识问答

已知数列{an}满足递推关系式an＝2an−1+2n(n≥2)，其中a4＝64．

1个回答

解题思路：（1）由已知，令n=4可求a₃，同理可求a₂，a₁．
（2）由a_n=2a_n-1+2ⁿ可得
a
n
2
n
＝
a
n−1
2
n−1
+1
，则数列{
a
n
2
n
}是等差数列，利用等差数列的通项可求，
a
n
2
n
，进而可求a_n
（3）由题意可得，S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，利用错位相减可求
（1）由an＝2an−1+2n及a4＝64知a4＝2a3+24，
解得：a₃=24，同理得a₂=8，a₁=2．（4分）
（2）∵a_n=2a_n-1+2ⁿ
∴
an
2n＝
an−1
2n−1+1
∵
a1
21＝1
∴数列{
an
2n}是以1为首项，以1为公差的等差数列
∴
an
2n＝1+n−1＝n
∴
a n＝n•2n．（8分）
（3）S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ
2s_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，Sn＝−(2+22+…+2ⁿ）+n•2ⁿ⁺¹=−
2(1−2n)
1−2+n•2ⁿ⁺¹
∴Sn＝(n−1)•2n+1+2．（12分）
点评：
本题考点：数列的求和；数列递推式．
考点点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，及利用构造等差数列求解数列的通项，错位相减求解数列的和是数列求和的重要方法．

相关问题