Question

如图1，矩形OABC中，AB=8，OA=4，把矩形OABC对折，使点B与点O重合，点C移到点F位置，折痕为DE．

Answer 1

解题思路：（1）根据折叠的性质得到OD=DB，设OD=x，则DB=x，AD=8-x，利用勾股定理得到x²=（8-x）²+4²，解方程即可得到x；

（2）根据折叠的性质得到∠2=∠1，DB=DO，BE=EO，而∠3=∠1，得∠2=∠3，则OD=OE，即可得到四边形OEBD的四边都相等，根据菱形的定义即可判断；

（3）过F作FG⊥x轴于G，根据折叠的性质得OE=OD=5，EC=EF=3，OF=BC=4，∠OFE=∠B=90°，可得E点坐标，利用等积法科求出GF，再利用勾股定理可求得OG，即得到F点坐标，然后根据待定系数法可求得直线EF的函数表达式．

（1）如图1，

∵矩形OABC对折，使点B与点O重合，点C移到点F位置，

∴OD=DB，

设OD=x，则DB=x，AD=8-x，

在Rt△AOD中，OA=4，

∴OD²=AD²+OA²，即x²=（8-x）²+4²，解得x=5，

所以OD的长为5；

（2）四边形OEBD是菱形．理由如下：

∵矩形OABC对折，使点B与点O重合，点C移到点F位置，

∴∠2=∠1，DB=DO，BE=EO，

而∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OD=OE，

∴OD=DB=BE=OE，

∴四边形OEBD是菱形；

（3）过F作FG⊥x轴于G，如图2，

∵矩形OABC对折，使点B与点O重合，点C移到点F位置，

∴OE=OD=5，EC=EF=3，OF=BC=4，∠OFE=∠B=90°，

∴E点坐标为（5，0）；

∵[1/2]OE•GF=[1/2]OF•EF，

∴GF=[3×4/5]=[12/5]，

在Rt△OFG中，OG=

OF2−GF2=

4 2−(

12

5)2=[16/5]，

∴F点坐标为（[16/5]，-[12/5]），

设直线EF的解析式为y=kx+b，

把E（5，0）和F（[16/5]，-[12/5]）代入得，5k+b=0，[16/5]k+b=-[12/5]，解得k=[4/3]，b=-[20/3]，

∴直线EF的函数表达式为y=[4/3]x-[20/3]．

点评：

本题考点： 一次函数综合题；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．

考点点评： 本题考查了利用待定系数法一次函数的解析式：先确定两个点的坐标，然后代入y=kx+b中，得到方程组，解方程组即可．也考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；还考查了矩形的性质、菱形的定义以及勾股定理．