已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1,若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集,则实数a的取值范围是___.

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  • 解题思路:由f(x)<0解得a-1<x<a+1,不等式f(f(x))<0⇒a-1<f(x)<a+1,原不等式的解集为空集,得到a-1<f(x)<a+1解集为空集,那么(a-1,a+1)与值域的交集为空集,求出a的范围.

    f(x)=x2-2ax+a2-1=x2-2ax+(a-1)(a+1)=[x-(a-1)][x-(a+1)]

    由f(x)<0

    即[x-(a-1)][x-(a+1)]<0

    解得a-1<x<a+1,

    那么不等式f(f(x))<0⇒a-1<f(x)<a+1 (*)

    又f(x)=(x-a)2-1

    当x=a时,f(x)取得最小值-1

    即函数的值域为[-1,+∞)

    若原不等式的解集为空集,则(*)的解集为空集,

    那么(a-1,a+1)与值域的交集为空集

    所以a+1≤-1

    所以a≤-2.

    故答案为:a≤-2.

    点评:

    本题考点: 其他不等式的解法

    考点点评: 本题考查了由一元二次不等式的解集求 参数的范围,属于中档题.