解题思路:(1)根据偶函数的定义建立恒等式f(-x)=f(x)在R上恒成立,从而求出m的值即可;
(2)根据函数的解析式,结合二次函数的性质,可分析出的函数的图象与性质,进而得到函数f(x)的单调区间
(3)函数f(x)在区间(-3,-2)上存在零点,根据零点存在定理,可得f(-2)•f(-3)<0,由此构造关于a的不等式,解不等式即可得到实数a的取值范围.
(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)在R上恒成立,
即(-x)2+|-x-m|+1=x2+|x-m|+1,
化简整理,得mx=0在R上恒成立,(3分)
∴m=0.(5分)
(2)由已知,可得f(x)=x2+a|x|+1,
则当a>0时,递增区间为(0,+∞),递减区间为(-∞,0)
当a<0时,递增区间为[[a/2],0]和[-[a/2],+∞)递减区间(-∞,[a/2])和(0,[a/2])
(3)当a>0时,在区间(-3,-2)上f(x)>0恒成立,不满足要求;
当a<0时,若函数f(x)在(-3,-2)上只有一个零点
则f(-2)•f(-3)<0
即(5+2a)•(10+3a)<0
解得:−
10
3<a<−
5
2
点评:
本题考点: 偶函数;函数单调性的判断与证明;函数的零点.
考点点评: 本题考查的知识点是偶函数,函数的单调性的判断与证明,函数的零点,(1)的关键是根据偶函数的定义,构造关于m的方程,(2)的关键是对a进行分类讨论,(3)的关键是根据零点存在定理,构造关于a的不等式.