(2010•普陀区一模)设a为非零实数,偶函数f(x)=x2+a|x-m|+1,x∈R.

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  • 解题思路:(1)根据偶函数的定义建立恒等式f(-x)=f(x)在R上恒成立,从而求出m的值即可;

    (2)根据函数的解析式,结合二次函数的性质,可分析出的函数的图象与性质,进而得到函数f(x)的单调区间

    (3)函数f(x)在区间(-3,-2)上存在零点,根据零点存在定理,可得f(-2)•f(-3)<0,由此构造关于a的不等式,解不等式即可得到实数a的取值范围.

    (1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)在R上恒成立,

    即(-x)2+|-x-m|+1=x2+|x-m|+1,

    化简整理,得mx=0在R上恒成立,(3分)

    ∴m=0.(5分)

    (2)由已知,可得f(x)=x2+a|x|+1,

    则当a>0时,递增区间为(0,+∞),递减区间为(-∞,0)

    当a<0时,递增区间为[[a/2],0]和[-[a/2],+∞)递减区间(-∞,[a/2])和(0,[a/2])

    (3)当a>0时,在区间(-3,-2)上f(x)>0恒成立,不满足要求;

    当a<0时,若函数f(x)在(-3,-2)上只有一个零点

    则f(-2)•f(-3)<0

    即(5+2a)•(10+3a)<0

    解得:−

    10

    3<a<−

    5

    2

    点评:

    本题考点: 偶函数;函数单调性的判断与证明;函数的零点.

    考点点评: 本题考查的知识点是偶函数,函数的单调性的判断与证明,函数的零点,(1)的关键是根据偶函数的定义,构造关于m的方程,(2)的关键是对a进行分类讨论,(3)的关键是根据零点存在定理,构造关于a的不等式.