解题思路：（Ⅰ）当a=1，x∈[1，e]化简f（x），然后研究函数f（x）在[1，e]的单调性，从而求出函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）讨论x与e的大小去掉绝对值，然后分类讨论讨论导数符号研究函数在[1，+∞）的单调性，从而求出函数f（x）的最小值，使f（x）的最小值恒大于等于[3a/2]，求出a的取值范围；
（Ⅲ）根据（II）的分类讨论求出函数g（x）的最小值，使g（x）的最小值恒小于等于f（x）的最小值，从而求出a的取值范围．
（Ⅰ）当a=1，x∈[1，e]时f（x）=x2-lnx+1，f′(x)＝2x−
1
x≥f′(1)＝1，
所以f（x）在[1，e]递增，所以f（x）max=f（e）=e2（4分）
（Ⅱ）①当x≥e时，f（x）=x2+alnx-a，f'（x）=2x+[a/x]，a＞0，∴f（x）＞0恒成立，
∴f（x）在[e，+∞）上增函数，故当x=e时，ymin=f（e）=e2（5分）
②当1≤x＜e时，f（x）=x2-alnx+a，f'（x）=2x-[a/x]=[2/x]（x+
a
2）（x-
a
2），
（i）当
a
2≤1即0＜a≤2时，f'（x）在x∈（1，e）时为正数，所以f（x）在区间[1，e）上为增函数，
故当x=1时，ymin=1+a，且此时f（1）＜f（e）=e2（7分）
（ii）当1＜
a
2＜e，即2＜a＜2e2时，f'（x）在x∈（1，
a
2）时为负数，在间x∈（
点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义；对数函数图象与性质的综合应用．
考点点评： 本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及分类讨论的思想，解题的关键是对于恒成立的理解，是一道综合题．