解题思路：（1）由抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得a，b，c的值．
（2）过P作直线x=1的垂线，可求P纵坐标，知道M、P、F三点坐标，就能求出三角形各边的长．
（3）存在，Rt△PNH中，利用勾股定理建立起y与t的关系式，推出t的值，即可得知存在这样的点．
（1）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，
可得-[b/2a]=1，
4ac−b2
4a=1，c=0，
∴a=-1，b=2，c=0．
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2+2x，
故设P点的坐标为（m，-m2+2m），则M点的坐标（m，[5/4]），
∵△PFM是以PM为底边的等腰三角形
∴PF=MF，即（m-1）2+（-m2+2m-[3/4]）2=（m-1）2+（[3/4]-[5/4]）2
∴-m2+2m-[3/4]=[1/2]或-m2+2m-[3/4]=-[1/2]，
①当-m2+2m-[3/4]=[1/2]时，即-4m2+8m-5=0
∵△=64-80=-16＜0
∴此式无解
②当-m2+2m-[3/4]=-[1/2]时，即m2-2m=-[1/4]
∴m=1+
3
2或m=1-
3
2
Ⅰ、当m=1+
3
2时，P点的坐标为（1+
点评：
本题考点： 二次函数综合题；等边三角形的判定．
考点点评： 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象的对称轴问题，判定三角形是正三角形的方法，综合性强，能力要求极高．