已知,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b),a,b满足(a-b)+(|a-3√2|)

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  • (1)因为根号和绝对值都是非负数,两个非负数的和是〇,一般认为这两个非负数都是〇,所以推出:a=b=3√2,显然角∠OAB=45°.

    (2)首先,猜想.方法是举几个非常特殊的位置,看看结果如何.其次,给出一般的证明方法.具体到本题,假如P点与B点重合,则PE=BC=1/2AB=3;假如P点与C点重合,此时D与E重合,但是PE仍然是3.由此猜想PE可能是一定值.

    由于是解析几何的问题,求线段PE的长度,可以利用距离公式,为此需要知道P和E点的坐标,本着“求什么就设什么”的原则,寻求P点和E点的坐标关系.具体方法如下:

    ① 设P点坐标为(α,β).显然P点在直线AB上,而直线AB的方程式为:y=-x + 3√2,所以P点可以记作P(α,3√2 - α).

    ② 因为PO=PD,可知D点坐标是D(2α,0).

    ③ 因为DE⊥AB,所以可知直线DE的方程式是:y=x - 2α.

    ④ 直线AB(y=-x + 3√2)与直线DE(y=x - 2α)的交点即为E点,解方程组,求得E点坐标为E(3/√2+α,3/√2-α).

    ⑤ 根据两点间距离公式,可知,PE=3,故得到一般的证明方法,PE是定值,且值为3.

    (3)这道题比较简单.由第2问,我们已经知道,P点和D点坐标的关系,所以:

    过P点作直线垂直于X轴,交X轴与P',即PP'⊥OD.所以OP' :PP' = tan(45°/2) = α/(3√2 - α).【记为方程①】

    我们知道tan45°=1,由此很自然的就会想到正切的倍角公式,为了方便书写记45°/2为γ,所以tan45°=1=2tanγ/(1-tanγ^2),可以推出(1+tanγ)^2=2,我们知道tanγ是正数,排除负值,解得tanγ = tan(45°/2) = -(1-√2).

    解方程①,可求得2α = -6 + 6√2,所以D点坐标为(-6 + 6√2,0).