Question

帮忙解几道一元二次方程的难题1.如果方程（x-1)( x² -2x+m)=0的三个实根可以作为一个三角形的三边

Answer 1

（一）易知,x=1是原方程的一个根.由题设,方程x²-2x+m=0的两根必为正数,故由求根公式得两根：1+√(1-m),1-√(1-m).(0＜m≤1).∴原方程的三根为0＜1-√(1-m)≤1≤1+√(1-m).(0＜m≤1).再由三角形三边关系得：1+1-√(1-m)＞1+√(1-m).===>√(1-m)＜1/2.===>m＞3/4.∴3/4＜m≤1.(二）易知,⊿=q²-4p²=m²,(m∈Z).一者,4p²=(q+m)(q-m).∴q+m,q-m必为偶数,∴m为奇数,二者,m²=(q+2p)(q-2p).∴q+2p,q-2p为奇数,∴p=2.∴q=5.∴符合题设的数p=2,q=5.(三）∵a-2b=4,ab+c²-1=0.∴a+(-2b)=4,a×(-2b)=2c²-2.∴由韦达定理知,a和-2b是关于x的方程x²-4x+2c²-2=0的两根,⊿=24-8c²=4(6-2c²)≥0.∴0≤c²≤3.且6-2c²是完全平方数,∴c²=1.∴该方程两根为0和4.（1)a=0.-2b=4.c=-1,∴a+b+c=-3,(2)a=0,-2b=4,c=1.∴a+b+c=-1,(3)a=4,-2b=0,c=-1,∴a+b+c=3,(4)a=4,-2b=0,c=1,∴a+b+c=5,综上可知a+b+c=±3,或-1,或5.