Question

已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵.

Answer 1

因为 AB=BA

所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB

所以 AB 是对称矩阵.

由A,B正定, 存在可逆矩阵P,Q使 A=P^TP,B=Q^TQ.

故 AB = P^TPQ^TQ

而 QABQ^-1=QP^TPQ^T = (PQ)^T(PQ) 正定, 且与AB相似

故 AB 正定.