Question

如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，BO2切⊙O1于点B，BO2的延长线交⊙O2于点D，DA的延长线交⊙O1于点C．

Answer 1

解题思路：（1）连接AB，可证得BA⊥CD，由BC是⊙O₁的切线，根据切线的性质推出DB⊥BC；

（2）由AC=3AD；得AD=[1/4]DC，由切割线定理得出BD=[1/2]DC，则∠C=30°；

（3）先求出⊙O₁的半径，AB、CD的长，由三角形的中位线定理求得O₁O₂的长，再求四边形O₁O₂CD的面积．

（1）证明：连接AB，∵BC是⊙O₁的直径，

∴BA⊥CD，（1分）

所以BD是⊙O₂的直径．（2分）

又∵BD是⊙O₁的切线，所以DB⊥BC．（3分）

（2）∵AC=3AD；

∴AD=[1/4]DC，

∵BD²=DA•DC=[1/4]DC²，（5分）

∴BD=[1/2]DC，（6分）

∴∠C=30°．（7分）

（3）设⊙O₁、⊙O₂的半径分别为r₁、r₂．

∵⊙O₂的半径为6，

∴AB=6

3，

∴r₁=6

3，（9分）

∴AC=18，

∴AD=6，

∵O₁O₂是△BCD的中位线，O₁O₂=[1/2]DC=12，（11分）

[1/2]AB=3

3，

∴S_梯形O1O2CD=[1/2]（24+12）×3

3=54

3．（12分）

点评：

本题考点： 切线的性质；三角形中位线定理；圆周角定理；切割线定理．

考点点评： 本题考查了切线的性质、切割定理和三角形的中位线定理，难度较大．